การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

        สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ใจความสำคัญของเรื่องนี้ อยู่ที่การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ซึ่งในการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวนั้น ไม่ยากครับ   แต่ต้องฝึกทำบ่อยๆ ทำโจทย์เยอะๆครับ  ซึ่งการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวเพื่อหาคำตอบของสมการนั้น มีหลายวิธีครับ อย่างเช่น การแทนค่าตัวเลขต่างๆลงในตัวแปรแล้วดูว่าสมการเป็นจริงไหม ถ้าเป็นจริงแสดงว่าตัวเลขที่เราแทนลงเป็นเป็นคำตอบสมการกำลังสองตัวแปรเดียว แต่วิธีนี้ไม่นิยมครับ มันยากครับวิธีนี้ คงไม่มีใครมานั่งแทนตัวเลขที่ล่ะตัวลงในตัวแปรหรอกน่ะครับ วิธีการที่นิยมใช้กันคือ

1. การแยกตัวประกอบ(แยก factor)

2.การดึงตัวร่วม

3.ใช้ผลต่างกำลังสอง

และอื่นๆ อีกมากมายครับ  ผมว่าเรามาลองทำโจทย์ดีกว่า  อ่านเพิ่มเติม

การไม่เท่ากัน

การไม่เท่ากัน

    การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้ โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น n แทนจำนวนเต็ม

      n >  5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,...

      n ≤ 1  หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1  ,0 ,-1 ,-2, ...

     n = 4 หมายถึง จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น ... ,- 2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,...

 อสมการ : ประโยคที่มีสัญาลักษณ์                          หรือ =  แสดงการเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวน

คำตอบของอสมการ : จำนวนที่แทนตัวแปรได้อสมการที่เป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ : การหาคำตอบของอสมการ โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน อ่านเพิ่มเติม

จำนวนจริง

จำนวนจริง 

จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000...
		เขียนแทนด้วย 0.2000...
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม อ่านเพิ่มเติม

การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย 

การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อน และยอมรับว่าเป็นความจริงเพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป เป็นการอ้างเหตุผลที่มีข้อสรุปตามเนื้อหาสาระที่อยู่ภายในขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด

               ตัวอย่างที่ 1      เหตุ   1.สัตว์เลี้ยงทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

                                                     2. แมวทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยง

                                            ผล     แมวทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

            

              ตัวอย่างที่ 2       เหตุ   1. นักเรียน ม.4ทุกคนแต่งกายถูกระเบียบ

                                                     2.  สมชายเป็นนักเรียนชั้น ม.4

                                           ผล    สมชายแต่งกายถูกระเบียบ

        จากตัวอย่างจะเห็นว่าการยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วหาสิ่งข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้วนั้น จะเรียกว่าผล การสรุปผลจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ

เป็นการสรุปได้อย่างสมเหตุสมผล อ่านเพิ่มเติม

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลอุปนัย 

 การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เกิดจากการที่มีสมมติฐานกรณีเฉพาะ หรือเหตุย่อยหลายๆ เหตุ เหตุย่อยแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน มีความสำคัญเท่าๆ กัน และเหตุทั้งหลายเหล่านี้ไม่มีเหตุใดเหตุหนึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นสมมติฐานกรณีทั่วไป หรือกล่าวได้ว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยคือการนำเหตุย่อยๆ แต่ละเหตุมารวมกัน เพื่อนำไปสู่ผลสรุปเป็นกรณีทั่วไป เช่นตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

         1. สุนทรี พบว่า ทุกครั้งที่คุณแม่ไปซื้อก๋วยเตี๋ยวผัดไทยจะมีต้นกุยช่ายมาด้วยทุกครั้ง  จึงสรุปว่า ก๋วยเตี๋ยวผัดไทยต้องมีต้นกุยช่าย

         2.ชาวสวนมะม่วงสังเกตมาหลายปีพบว่า ถ้าปีใดมีหมอกมาก ปีนั้นจะได้ผลผลิตน้อย เขาจึงสรุปว่าหมอกเป็นสาเหตุที่ทำให้ผลผลิตน้อย ต่อมามีชาวสวนหลายคนทดลองฉีดน้ำล้างช่อมะม่วง เมื่อมีหมอกมากๆ พบว่าจะได้ผลผลิตมากขึ้นจึงสรุปว่า การล้างช่อมะม่วงตอนมีหมอกมากๆ จะทำให้ได้ผลผลิตมากขึ้น

         3.นายสมบัติ พบว่า ทุกครั้งที่ทำความดีจะมีความสบายใจ  จึงสรุปผลว่า การทำความดีจะทำให้เกิดความสบายใจ การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปจากเหตุหลาย ๆ เหตุโดยถือหลักความจริงของเหตุจากส่วนย่อยหรือส่วนเฉพาะไปสู่การสรุปความจริงที่เป็นส่วนใหญ่ หรือส่วนร่วมโดยที่เหตุผลลักษณะนี้จะประกอบไปด้วย ข้อความ 2 กลุ่มคือ ข้อความที่เป็นส่วนของเหตุและข้อความที่เป็นข้อสรุป โดยกลุ่มของข้อความที่เป็นเหตุจะทำให้เกิดข้อสรุปของข้อความในกลุ่มหลังเราสามารถกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบอุปนัยมีลักษณะการนำความรู้ที่ได้จากการตัดสินใจจากประสบการณ์หลาย ๆครั้ง การสังเกต หรือการทดลองหลาย ๆ ครั้งมาเป็นเหตุย่อยหรือสมมติฐานต่าง ๆ แล้วนำมาสรุปเป็นคุณสมบัติของส่วนรวมทั้งหมดเป็นข้อความหรือความรู้ทั่วไปซึ่งจะครอบคลุมไปถึงสิ่งที่ยังไม่มีประสบการณ์หรือยังไม่ได้กล่าวอีกด้วย อ่านเพิ่มเติม

การให้เหตุผล

การให้เหตุผล

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี คือ

         3.1การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกต  หรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป ซึ่งข้อสรุปที่ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง

         3.2การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning ) เป็นการนำสิ่งที่ยอมรับว่าเป็นจริงมาประกอบเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้ว

         - การสรุปที่สมเหตุสมผล (Valid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุที่เป็นจริงเป็นผลให้ได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง

         - การสรุปผลที่ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุเป็นจริง แต่ไม่เป็นผลให้ไดข้อสรุปที่ถูกต้อง

          การตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้นสมารถตรวจสอบได้หลายวิธี  แต่วิธีการหนึ่งที่นิยม คือ การวาดแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์  เป็นการวาดแผนภาพตามสวมมิติฐานที่เป็นไปได้  แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลการสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่

-                   ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนดจึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนันสมเหตุสมผล

-                   ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ จึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล อ่านเพิ่มเติม

สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับเซต และ เพาเวอร์เซต

สับเซต             สับเซต (subset) หรือ “เซตย่อย”  คือ เซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากันกับเซตที่กำหนด โดยต้องใช้สมาชิกร่วมกับเซตที่กำหนดเท่านั้น             สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “ A เป็นสับเซตของ B” คือ A Ì B และจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A นั้นเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย หรือเมื่อ A เป็นเซตว่างก็ได้ เช่น {1,2}Ì{1,2,3}เนื่องจากทั้ง 1 และ 2 เป็นสมาชิกของ {1,2,3} รูปแบบ เซต (เล็ก) Ì เซต(ใหญ่) สมบัติของซับเซต 1. A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง) 2. A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์) 3. Ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต) 4. ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø 5. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด) 6. A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A 7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต อ่านเพิ่มเติม